Attention：请谨慎购买彩票，切勿沉迷。（为了验证猜测，本人进行了一些实践，共计购买了1500注彩票，中奖金额1905元，返奖率为63.5%。数据截止至17年11月16日。若干年后会公布购买细节）大乐透 中级篇大乐透 初级篇结论：本文根据大乐透的历史开奖记录证实该彩票的可靠性：针对开奖记录，解释了为何有四次前区开奖号码重复的事件。本文还研究了彩票的分布情况，并证实在期望值的角度，特定的彩票号码组合能够战胜彩票机构。最后对彩票中的各种问题进行说明（使用的开奖数据截止至2017/11/16，前1609期次）一、引言在15世纪就已经有人研究赌博中的概率问题，到了17世纪，费马、帕斯卡、伯努利等深入研究赌博游戏，且帕斯卡将概率论进行系统化【1，2】。近年MIT的学生也曾出版图书讲解如何通过赌博赢钱，封面上写着6个MIT学生从拉斯维加斯赌城赚得百万的故事【3】（封面好俗）。看来对赌博进行研究的也并不全是赌徒。关于大乐透或者国内的其他彩票，诟病很多。部分原因是国内彩票返奖率只有~50%（即使彩票不作假，盈利也是很可观了），所以有人称买彩票是交智商税【4】。此外，有部分彩民对彩票极度痴迷，已经超过了理智。大众对彩票的热衷也导致了各种中奖预测和号码推荐。从数学直觉上看，这些预测不可信，因为概率论中假定了事件之间完全不相关，但事实上是否有联系并不容易证明。不过也有作者研究过，按照预测号码买彩票,，中奖概率不会提高。可见各种号码预测全凭猜测或胡乱建立联系，跟随机选号没什么差别。本文仅对彩票概率进行粗略的论证，说明部分号码组合确实能够提高中奖概率（不做预测）。二、概率与随机我们如何去认识概率和随机？我们可以轻易的获取大量数据，但如何看待这些数据？我取出一枚硬币，对它不断进行抛掷，去统计它的正反面。统计了100次，有38次的正面，距离50%的可能性为正面的概率有些远；统计1000次，有600次正面，60%，稍微接近50%了。从直觉上认为，只要有毅力去不断抛硬币，正面的概率会无限接近于50%的。但当我们越深入这个问题，就越容易忽略一个表面的事实：我们假定了它是理想硬币，它的正面概率就应该是50%。事实偏离了假设，让我感到焦虑。但其实因为：1，硬币正反面的凹凸不一致，导致质心不在最中心；2，硬币制造过程不能保证硬币的各个位置的密度一样，导致质心不在最中心；3，我抛硬币喜欢从正面在上开始抛……这些问题都足够保证抛硬币过程不是理想的。每个硬币都有它的固有概率，而且这个概率也许只属于此刻的此枚硬币（在我不断抛掷的同时，因为磨损或沾染汗渍造成了硬币改变，固有概率会改变）。所以固有概率≠理想概率。硬币抛掷概率属于二项分布问题，对于理想硬币，1000次抛掷中有600次正面的概率密度只有5*10-9 %。不断尝试下去，它很可能（99.99999995%）不会收敛于理论概率50%（会大于50%）。除了统计概率的异常，我们还需要考虑数据前后是不是异常（我是指造假）。比如有人声称，做了十万次抛硬币实验，如何去判断他有没有作假？我们假定硬币是随机的，那么随机序列应该表现出一些特征：1、如上所说的正面的概率在50%附近，并收敛于某个值；2、掷1000次硬币，出现连续5次（或以上）正面的次数【5】；3、佛曰不可说。。。第三种特征不好用数学去描述，但如果看到01011001010111010010010，就需要警觉了，因为它是我编的（看起来0,1分布的很均匀，没有连续出现3个1或0）。我随机生成了一个30位0-1数列11011 10011 10111 10100 00001 10101，它看着反而好像很不随机，但这个却是真的随机生成的结果。对于序列的随机性判断比较困难【6】，我们只能模糊看到它的影子。比如大乐透的某个数字连续出现了8期，某两个数字组合连续出现了5期。三、碰撞问题【7】如果要求房间中至少有2个人有相同生日的概率大于1/2，那么房间中所需的最少人数是多少？想象一下，一年有366天（不考虑闰年）。从直觉上想，估计需要有百八十人吧。但是事实呢？23人。计算方法很简单，假定共n个人，每个人的生日都不相同：至少有2个人有相同生日的概率大于1/2的概率就是1-p，要(1-p) > 1/2。n=22时，(1-p) = 0.475；n=23时，(1-p) = 0.506。在散列函数中，假定有1 000 000个地址，使得碰撞概率大于1/2的n是1178。也就是使用一百万个位置中的1178个位置时，有超过50%的可能性有位置重复（hash函数的散列冲突）。生日问题和散列冲突问题可以扩展成碰撞问题。四、前区号码重复问题四次开奖前区号码重复的事件有四次开奖前区号码重复的事件（碰撞事件）也可用相似的方法计算一下，总的前区号码组合数为C(35, 5) =324 632。可以算出发生碰撞的概率大于1/2的期次是671。而到第1609期次开奖时，发生碰撞的概率已经达到了98.11 %。且可以算出理论上碰撞1次的概率7.52%，碰撞2次的概率14.95%。下图是程序模拟1609期次发生碰撞的次数的概率图，出现3-4次前区号码相同的概率超过35%。前1609期发生4次前区号码碰撞也不必大惊小怪。如果一定要怀疑，可以质疑为什么号码碰撞的期号距离都很近（这个概率应该也不会太小）。模拟次数：10000；对每次模拟发生的碰撞次数做直方图五、重复出现的号码有些号码或者组合连续出现四、五期，让彩民内心惊慌焦虑，到底是出了什么状况，它还会又出现吗？我们不妨计算机模拟一下，经过1000次的模拟1609期次的开奖结果，连续出现n次的某个号码的次数平均值统计如下。其中连续出现5次的概率不小（1609期次有6次某个号码连续出现5期，13次某个号码连续出现4期），但没有发生某号码连续出现6、7期的事件。（计算方法：1、生成随机抽奖数据[5*1609]的二维数组；2根据该数据生成[35*1609]的0-1二维数组（比如某期抽中23号，则该期对应的行的第23列元素为1）；3、抽取第一行、第二行进行比较，如果对应位置均不为0，则第二行的该位置数据修改为两者的和，第一行该位置数据置0；4、迭代上述数据，比较二三行，三四行。。。；5、Counter函数统计该数组的各数字的出现次数；6、重复进行1000次取平均。）六、相似在数学分析【8】中，数列收敛理论指出，数列收敛则其任何子数列都收敛（随着抽奖次数的增加，概率会逐渐接近该值）。这不禁让我想到，我们认为彩票是真随机事件（彩票没有被人为控制），它肯定会拥有这种性质。按照期数除以3的余数为0,1,2将历史抽奖数据分为3组。这些数据没有太大问题：在第1组抽中次数多的号码在2,3组也容易抽中。当然，其实这个问题很难去判断。前区后区七、号码概率按照第二章的推理，如果进行的次数足够多，掷硬币的正面概率要收敛于50%，如果没收敛就说明了固有概率与理论不符合。对于彩票，则相当于抛一个有35个面的筛子。历史抽奖1609期，数据量太少，没法研究单个号码的出现概率。但产生的数据不论如何分布，都存在一个离散程度的特征（标准差sigma），也就是某些球抽中的次数多，有些少，但多与少的程度是有范围的。但到底离散程度是多少才符合理论呢？程序随机生成1609期的抽奖数据，就能计算它的离散程度。把这个过程不断重复20万次，就产生了离散程度的分布图。实验得到的离散程度的均值为13.9，范围大概在10.60~17.26（95%置信度）。实际情况的离散程度为34.95，差的很离谱。如果我们假设标准差的分布是正态分布，那么离散程度达到34.95的可能性只有1.36*10-34。银河系的尺寸1021，原子的尺寸10-10。如果我们把理论前区标准差的分布图的x轴画成银河系直径那么长，那么实际值的高度仅有原子尺寸的千分之一；或者说，你买了4次单注彩票，全中了一等奖。号码会表现出离散性归结于两个原因：随机性造成的离散和抽奖造成的固有离散。随机性离散即上述程序模拟的离散程度分布。只需用实际离散程度减去随机性离散就可以得到固有离散程度（此处将问题简化处理，便于计算）。我们假设实际情况不会脱离理论太多，可以选取95%置信区间，也就是随机性离散程度[10.60, 17.26]。假定数字的出现概率=固有概率+随机性概率，且出现次数越多的数字的随机性概率越大。那么可以得到修正的固有概率，如下表。根据各个号码的抽中概率，可以按照非等概率不放回抽样计算概率。并由14052期（自此期开始实行了新的奖金规则）之后的各等级奖金金额计算期望值：即使按照最大修正，在期望值上仍能够取得胜利。需注意：此处的所有修正都是在把出现次数多的球往小的方向修正（在理论上来讲，是应该两个方向都修正，也就是说，虽然某些号码抽中概率很高，但其实它的固有概率更高。只是被离散性概率拉低了，所以表现出来的概率没那么高）。实际期望值或许在2.6附近，大于购买彩票的筹码。八、为何如此？如大乐透中级篇所述，猜测是抽奖设备造成的29-35号抽中的概率较大。首先，这些号码的固有概率偏大是事实，造成这个结果的原因：1、球本身的问题；2、设备设计问题。如何设计实验证明是否是球本身的问题？不妨想象，如果我们改变球的放置顺序：29-35号球从左侧移到右侧，1-7号球移到左侧，如果抽奖实验结果是1-7号的抽中概率大，那就可以排除球本身的问题了。这个实验不好操作，但我们注意到，大乐透是有3套抽奖球的。如果这3套球的29-35号的固有概率都偏高，也可以证明是抽奖设备的问题。关于采用的哪套球的自11年开始的历史记录（至17134期共1056期次），在http://www.lottery.gov.cn/中可以找到。因为每一套球的使用次数只有不到400，所以随机性离散较大。29-35号的个别球的抽中概率反差较大，也许说明这几个球的差异较大。九、号码相关性之前提到过，是否某些号码之间有相关性，比如1号被抽中那么2号被抽中的可能性就会很大？对此进行统计：横纵轴的数字代表两个号码，中间的数值代表横纵坐标对应的两个号码均被抽中的次数我们知道，29-35被抽中的次数本来就多，所以这个位置的数值较大。我们可以考察： P(AB)/(P(A)*P(B))。通过程序模拟该过程，真实分布在理论范围内，可以认为号码之间无相关性。不再对此问题做过多说明。总结：本文根据大乐透的历史开奖记录证实该彩票的可靠性；在期望值的角度，特定的彩票号码组合能够战胜彩票机构。但是需要考虑到，如果机构自身购买这些号码，那么派给外部的奖金就会减少，从而彩民购买的期望值会降低。也许这能解释为什么第11110期（中奖号码： 30 31 33 34 35 + 4 7）会中65注一等奖，且每一注都是单独中奖，单注奖金69万。（当然，16150期106注一等奖也很玄幻）。购买需谨慎，请勿要沉迷。最后的问答环节1、双色球2004009期补摇奖录像【9】，此问题在《彩民质疑双色球摇奖过程》【10】中有答案。文中解释，每次开奖现场都有两部摄像机，一部负责宏观场面的拍摄，另一部则负责画中画的特写镜头。但第2004009期双色球开奖时，负责拍摄画中画的特写镜头的摄像机出了问题，直到开奖后才发现没有画中画的特写镜头。因此进行了补录，而所谓的补录不是重新摇奖（估计是打开设备，直接把球塞到中奖的管子里的方式，毕竟只需要补拍那个位置）。但确实应该在公示时说明情况，而不是事后解释。自行判断是否可信。2、频频出现高倍中一等奖，请问为什么没有高倍中二等奖的。这个只能说作者没仔细调查。大家都关注一等奖，更关注高倍一等奖，进而忽视了高倍二等奖的。可以搜一下，比如有20倍二等奖530万的啊，怎么能选择性忽略呢【11】。知乎上也有文章分析为什么会出现高倍一等奖。3、关于大乐透造假，曾有视频指出，某号码在出奖的瞬间从xx变成了xx（记不清了）。此问题有慢镜头视频证明，是光的折射导致画面偏差。引文1 http://www.udpwork.com/item/8697.html（在这里可以了解一点点概率论）2 https://zhuanlan.zhihu.com/p/246470963 图书：《Bring Down The House》 ，作者Ben Mezrich4 https://www.zhihu.com/question/38672879 5 https://www.zhihu.com/question/463888756 https://www.guokr.com/question/525135/7 图书：《离散数学及其应用（中文版）》p390-3918 《数学分析 （中文版）》p81 卓里奇9 https://www.zhihu.com/question/1972848810 http://news.sina.com.cn/c/2004-02-13/11261791180s.shtml11 http://baijiahao.baidu.com/s?id=1578339460482166313&wfr=spider&for=pc

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